语言大模型的浮点运算分配

本文通过实证分析展示了实际LLM模型的FLOPS分配情况，并与理论分析进行对比。通过理论和实证相结合的方式，本文为理解和优化语言大模型的性能提供了有益见解。

作者Finbarr Timbers是一名机器学习研究员，曾就职于DeepMind。（以下内容由OneFlow编译发布，转载请联系授权。原文：https://www.artfintel.com/p/where-do-llms-spend-their-flops）

作者 | Finbarr Timbers

OneFlow编译

翻译｜宛子琳、杨婷

本文对LLM的性能进行了理论分析，然后通过详细分析一个实际的LLM，查看实证结果与理论之间的差异。首先是理论分析部分，我会借助Kipply的优质博文来填充细节。基本结论是：对于标准解码器模型，FLOPS（每秒浮点运算数）的分配如下（按每层计算）：

1. 6d^2 用于计算QKV（Query（查询）、Key（键）和Value（值））

2. 2d^2 用于计算注意力输出矩阵，softmax(Q @ K.T) @ V

3. 16d^2 用于运行前馈神经网络（FFN） 

总计24d^2 FLOPS。从百分比看，25%的时间用于计算QKV，约8%的时间用于计算注意力输出矩阵，约66%的时间用于运行FFN。

那么用于注意力机制的时间呢？众所周知，注意力机制方程为：

假设你正在使用KV缓存，Q（查询）、K（键）和V（值）都是d维向量（等价于（d，1）矩阵）。每个点积大约需要2d个flops（https://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/convexopt-F18/scribes/Lecture_19.pdf），加上进行d次除法需要d个flops，总计约为5d个flops，四舍五入为零。

当d等于4096（在Llama7b中的取值），这仅为0.005%，几乎可以忽略不计。这似乎表明注意力机制不重要，但事实并非如此。我们之所以使用KV缓存（以及flash attention等）正是因为它们非常重要，可以将其类比于米尔顿·弗里德曼的恒温器（https://worthwhile.typepad.com/worthwhile_canadian_initi/2010/12/milton-friedmans-thermostat.html，感谢 @bradchattergoon）：

假设一个房屋配备了一个运行良好的恒温器，那么我们能看到炉子燃烧的油量（M）与室外温度（V）之间存在强烈的负相关关系，同时炉子燃烧的油量（M）与室内温度（P）之间没有相关性，此外，室外温度（V）与室内温度（P）之间也没有相关性。

一位计量经济学家观察数据后得出结论：燃烧的油量对室内温度没有影响，室外温度对室内温度也没有影响。唯一的影响似乎是燃烧油量会降低室外温度。

观察相同的数据，第二位计量经济学家得出了完全相反的结论。他认为，室外温度（V）增加唯一的影响是会减少耗油量（M），而不会对室内温度（P）产生任何影响。

尽管两位计量经济学家得出了不同的结论，但他们一致认为燃烧油量（M）和室外温度（V）对室内温度（P）没有影响。基于这一共识，他们决定关闭炉子，不再浪费金钱购买燃油。

KV缓存需要O(T)的内存（其中T是我们希望生成的词元数），因此内存需求成本较高，这一点可以参考公司股票（$NVDA）情况。

KV缓存有多大呢？对于每个词元，需要存储以下数量的字节（第一个2是因为我们假设使用bf16精度，因此每个参数占用2个字节；第二个2是因为需要同时存储K和V张量）：

注意，根据假设，n_heads*d_head=d_model=d，因此字节数为4*层数*d。

GPT-3有96层，d_model为12288，每个词元需要4.72MB。因此，生成2048个词元需要5.6GB的内存。

尽管如此，要使用给定模型生成给定长度的序列，我们仍需使用与KV缓存相同的内存量，只是在每次前向传播结束时将其丢弃。因此，我们并不需要更多内存。从某种意义上说，KV缓存不占用内存（至少在Jax中是如此，除了一些繁琐的bookkeeping工作）。

对于一些新兴架构（例如Mistral 7B）又有何不同呢？Mistral 7b使用了分组查询注意力（Llama2也使用了类似的注意力机制，就好像这两个模型的作者存在某种联系。）和滑动窗口注意力。

在分组查询注意力中，我们可以在多头之间共享一个KV投影（MQA），具体而言，可以是所有注意力头之间共享一个KV投影（MQA，https://arxiv.org/abs/1911.02150），或者将其分成多个组（GQA，https://arxiv.org/abs/2305.13245v3）。这两种方法都等同于具有较小d_model的标准多头注意力（MHA）。在之前的KV缓存计算中，我们假设注意力头的数量乘以头的维度等于模型维度，但是在MQA/GQA中，我们放宽了这一假设。KV缓存公式如下：

可以转换为：

其中，注意力头的数量乘以头的维度就是模型的有效维度。因此，可以看到，随着KV头数量的减少，KV缓存大小呈线性减小（ 这也是GQA/MQA方法背后的关键动机之一）。

Llama{1,2} 模型参数如下：

Llama 2中，每个词元所需的KV缓存如下：

在没有分组查询注意力（GQA）的情况下，34B模型需要的KV缓存内存是原来的5倍，而70B模型需要的KV缓存内存是原来的8倍。

Llama/Mistral的另一个改进是滑动窗口注意力，它保证我们可以将KV缓存限制在窗口大小，对于Llama7B来说，窗口大小为4096。

1

性能驱动的架构变化

如前所述，LLM每层使用了24d^2个flops。增加的层数将线性扩展flops和参数数量，增加模型宽度会二次方扩展模型大小。需要注意的是，这是因为参数的数量与d_model的平方成正比，因为我们的大多数层是从一个d_model输入向量转变为一个d_model的输出向量，所以权重矩阵的尺寸为(d_model, d_model)。换句话说，计算量与参数的数量呈正比，增加d_model会使参数数量呈二次方增加。模型深度增加一倍会使参数数量翻倍，但模型宽度增加一倍会使参数数量增加四倍。

尽管如此，更宽的模型的优势是能够更好地并行化。要计算第N层，必须首先计算前面的N-1层。这在高效并行化上十分困难，尤其是在训练期间，而通过张量并行化方法，跨多个GPU拆分单个层要容易得多。如果你主要关心时延，那么选择更宽的模型可能更合适。

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实证分析

我使用Colab进行了这项分析。（https://colab.research.google.com/drive/1TH6AKsICZqlFoW1ph8h3wsF7q7qVMF8T?usp=sharing）

以下是单次前向传播的高级概要（我的网站上有交互式概要：https://finbarr.ca/static/llama-profile.svg）：

可以看到，本次运行的总时间中有4.88%用于单次前向传播。在前向传播中，有1.98%的时间用于注意力机制，有2.58%的时间用于多层感知机（MLP）。在前向传播的总时间中，有40%的时间用于注意力层，53%用于MLP。在注意力层内部，时间分配在4个不同的线性层上，其中有2个线性层花费的时间大致相同（linear_1、linear_2），一个花费的时间多50%（linear_3），另一个则是前两者的两倍（linear_0）。我猜测linear_0正在计算查询嵌入，而linear_1/2正在计算键和值嵌入。请注意，由于KV头的数量较少，计算速度要快得多！GQA（Query-aware Attention）带来了明显的差异，即便所使用的注意力机制（xformers.ops.memory_efficient_attention）要求QKV嵌入被广播到相同的大小。

理论分析预测，2/3的时间将用于计算FFN，1/3将用于计算注意力机制。这基本符合我们上面所看到的情况。我们花在计算注意力机制上的时间略多于MLP，但我怀疑这是因为MLP正在为Torch执行一个经良好优化的路径。

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性能变化

接下来，我对Llama2进行了一系列实验，涉及模型宽度和深度的调整。以下是实验结果：

结果非常有趣。可以看到，隐藏维度为1024和1536的两个模型的速度基本没有变化（1.10秒vs1.11秒），隐藏维度为1024和2048的模型只发生了轻微变化（1.15秒vs1.10秒）。然而，当我们比较隐藏维度为2048（1.15秒）、3072（1.41秒）和4096（1.82秒）的模型时，可以看到速度类似于线性扩展！

对此，我的看法是，调度kernel和实际执行矩阵乘法中存在较大的开销。这是在T4上运行的，尽管按现在的标准来看有些过时，但仍具有65 TFLOPS的bf16计算能力。如果我们将两个1024×1024的矩阵相乘，这就需要1G FLOP的计算能力，因此，理论上，我们可以每秒乘以 65000个1024×1024的矩阵。实际上，我们只能得到其60-80%的性能，但仍然是每秒40000次矩阵乘法。如今的GPU拥有大量核心，T4有2560个CUDA核心，每个核心的运行频率在585到1590 MHz之间。因此，任何能够并行化的任务都表现良好，但是那些需要顺序计算的任务则不会得到优化。我认为，这就是图中所看到的的情况——没有足够的并行性来充分利用GPU。

Transformer的深度使性能与预期完全一致：推理时间与深度呈线性增长。最深的模型可能存在一些噪声，但它的性能表现相当稳定。

接下来，我计算了生成更多词元所需的成本（对每个词元数量进行了10次运行，以减少噪音）：

正如预期的那样，完全呈线性增长，因为Llama2使用了KV缓存。如果我们查看保留的内存，就会看到KV缓存与预期的一致（在某种程度上）：

可以看到，模型每增加20个词元，内存占用就会增加约2.1MB。由于该模型的 d_model 为1024，有8个隐藏层，因此需要4 * num_layers * d_model字节的内存，即4*8*1024字节=每词元32KB的内存。理论上我们只需要640KB的内存。目前还不清楚额外的3倍开销是从哪里产生的。我怀疑是因为执行还不够高效。

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