从《规模法则》视角看世界：从经济系统到城市、企业｜复杂系统管理学

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导语

复杂系统，从生命系统到繁复的生态系统，再到互联网社区、城市乃至企业，表面看似乎毫无联系，属于各自独立的学科领域，但深入挖掘下去，就能发现一系列统一的规律横贯其间。其中“规模法则”（Scaling Law，也翻译为标度律）以其简洁而深远的影响力脱颖而出，揭示了复杂系统中宏观变量如何随着系统规模的扩大而变化的规律。这些简单数量关系背后隐含着对复杂系统普遍适用的基本原理。
在集智俱乐部「复杂系统管理学读书会」第二季，接着第四期张江老师对《规模法则》、“企业规模法则和生长”的解读。读书会社区成员中的一对父子，张德伟和张力钧两位老师，从更加广阔的视角带来《规模法则》的解读，以及对世界的认识。这其中不仅包括经济系统中的规模法则，还有城市和企业规模法则的探索。可以说是知识横断面非常大的一期分享。
关键词：复杂系统，规模法则，经济系统分工，城市规模，企业规模张德伟、张力钧 | 讲者刘越 | 整理张江 | 审校

全书梗概
如何理解规模法则?
经济系统分工中的规模法则
城市中的规模法则
奇点临近
企业中的规模法则
阅读后的新体悟

1. 全书梗概

当我们开始探索一本书时，常常从其标题和第一章开始，这本书也不例外。《规模法则》是张老师的第一部真正意义上的专著，其副标题“探索从细胞到城市的普适规律”透露了作者张江老师的学术野心，这本书不仅是科普，更是高水平的学术专著，兼具创新、思想深度与探索精神。
图 1：《规模法则》书本封面
本讲座内容分为五部分：初读印象、书籍概况、关键概念、重点问题和阅读后启示。本书采用横断视角，从多个学科角度探讨生物体规模法则、虚拟场所如百度贴吧的规模法则、城市的规模法则及企业的规模法则等普适规律。
张老师耗时七八年，跨足生物学、经济学、技术科学等不同学科，提出了原创成果如“匹配生长模型”（张江模型）、“城市匹配生长模型”（张-李-董城市模型）和“企业生长方程”（张江方程）。这些概念和模型不仅丰富了对规模法则的理解，还在城市规划和企业评价等领域提出了具体应用方法。
书中还提出了很多启发性观点，如克莱伯定律的推论、哺乳动物心跳次数的总限制以及社会经济系统的“心跳常数”等探讨，引发深刻思考，类似经济学中对资产与负债的研究，揭示了复杂现象的简单规律。
然而，张老师谦虚地指出，这本书研究结论主要为了认识世界，尚不可直接用于改造世界。复杂物理学作为新兴领域尚需发展，有不足之处，但充满探索潜力。不过综合而言，这是一本充满学术野心的专著，通过横断视角、多学科方法探索多层次、多系统的普适规律，提出原创成果，引发深刻思考。虽有未解之谜，但为全新视角，更好理解世界的运行规律，是值得深入研究的书。

2. 如何理解规模法则

2.1 规模法则的概念与前世今生
要想理解“规模法则”中的“规模”一词，需要和两个可能会混淆的概念进行辨析，一个是数量上的多少，一个是空间尺寸上的大小。规模不是一般地用数量来衡量多少和大小，而是以某数量的数量级来比较和衡量多少和大小，当规模用数量级来衡量时，学术界就会用“尺度”这个专有名词来表述。

张江老师在书中采用双对数（均以10为底取对数）回归进行现实世界的数据拟合和图示，说明了是用数量级来衡量事物规模的本质。

最先提出的一种重要的规模法则，是生物学中的克莱伯定律。1932年，克莱伯总结了横跨5个数量级的哺乳动物的体重与新陈代谢率之间的关系，即。本世纪初，韦斯特和布朗等人，重新掀起了对克莱伯定律的研究，将克莱伯定律的适用范围扩大到1027的数量级。并且将克莱伯定律进行了推广，得到d维空间的广义克莱伯定律：

而张江老师更进一步将其扩展为广义的规模法则：

这就是在规模缩放下不同量之间展现出来的幂律关系。该式也可写成双对数形式：
ln Y = ln a + b ln M
该式在数学上表现为：随着系统整体规模M的数量级变化，宏观变量Y的数量级与之呈线性的变化。就是这样一个公式，包含着国家，城市，企业，生物组织……多个领域的规律。
2.2 名著中的规模法则

许多书籍都是通过缩放的方式（尺度变换）来看待宇宙万物的。比如：

《爱丽丝梦游仙境》（童话）

《规模：复杂世界的简单法则》

《生长和形态》

《宇理图：从基本粒子到总星系的宇宙图景》

《宇宙的尺度：从无穷大到无穷小》

《图解宇宙的尺度》

这些书都包含着规模法则的哲思。当我们谈论规模法则时，我们实际上在讨论尺度变化对事物外观和性质的影响。经典例子是《爱丽丝梦游仙境》，主人公爱丽丝在故事中不断经历尺度变化，从微小到巨大，导致世界和她的感知发生奇特变化。这展示了尺度对感知和行为的重大影响，与科学领域的尺度概念（如分子与宏观尺度转换，生态系统尺度）相关。规模法则探讨了尺度变化如何影响事物的核心概念。
2.3 发现规模规则——一种贯穿科学史的哲学
规模法则是如何被发现的？规模法则虽然是近期才开始受到人们重视的主题，但实际其方法论具有深远的历史。不仅如此，这种方法论也结合了科学史上发展的一种普遍的范式。即：
“第谷-开普勒-牛顿范式” 或 “数据-唯象规律-普适规律”
如果现在谈到万有引力定律这样一个在物理界非常经典，也算是开山鼻祖级别的定律，大家一定都很熟悉，是大名鼎鼎的艾萨克·牛顿提出的。但是牛顿难道真的就如同故事所说的那样，看到了苹果掉到地上，就直接想到了万有引力定律吗？或许从整个科学发展的角度，并不是。

从物理学的角度来说，首先是第谷设计了一系列精密的仪器来观测天体的位置，并记录下大量的天文数据。这些数据为后来的科学家提供了研究宇宙运行规律的基础。第谷对行星的精确测量，尤其是对火星的观测数据，为开普勒的行星运动定律的发现提供了关键信息。开普勒通过对数据的仔细分析，发现了行星运动的三大定律，这些定律描述了行星如何绕太阳旋转的唯象规律，即它们实际上如何运动，而不涉及运动的原因。

直到牛顿挺身而出，通过合成前人的工作和自己的天才洞察，最终发现了万有引力定律。

这是一个普适规律，不仅适用于地球上的物体，也适用于天体。牛顿意识到，同样的力——即万有引力，既解释了苹果落地，也解释了月球绕地球运动以及行星绕太阳运动的原因。表明两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。他的这一发现被记录在他的著作《自然哲学的数学原理》中，成为了物理学史上的一个里程碑。

3. 经济系统中的规模法则

3.1 从“大头针工厂之谜”谈起
亚当·斯密在《国富论》中有这样一段话来阐述人类的分工合作是如何提升生产率的:“一个人抽出金属丝，另一个人拉直，第三个人切断，第四个人削尖，第五个人打磨顶部做出头。要做圆头，需要有两三种不同的操作。装圆头，涂白色，乃至包装，都是专门的工种。这样，大头针的制造分为18道工序。有些工厂，18种操作分别由18个工人承担。固然，有一人也能兼做两三种操作。我见过一个这种小工厂，只雇用10个工人……这10个人一日可成针 48000枚。每个人做了48000枚大头针的1/10，一天也就做了4800大头针。但是如果他们都单独劳动，而且没有受过专门的训练，他们每个人一天肯定做不了20枚大头针，也许一天连一枚都完不成。那就是说他们绝对完成不了相当于在分工与合作中所能完成工作的1/240，甚至1/48000。”
在这个例子中，每个人在效率没有显著提高的情况下，工厂通过生产过程分化成多个工序，让“整体大于部分之和”有所体现，这又让人联想到了前面所说的规模法则。规模法则能够为亚当·斯密关注的生产率提升与分工合作问题提供定量描述。
3.2 生产分工中的规模法则

如果我们用Y来表示大头针工厂在单位时间内的总产出，M表示员工数，这种整体大于部分之和的效应就可以表示为：

在工厂中，一般β＞1，也就是产生了“超线性规模法则”。当β=1时，这就对应了人与人之间没有合作，分别孤立生产的的情况。而这种规模法则在许多场合都存在，Y可以是城市的GDP，总财富，总输入，M是城市的总人口。在互联网社区中，Y对应用户的发帖量、浏览量和总点击次数，M对应活跃用户数。对于这些场合，规模法则都普遍存在。
而这里工厂中的劳动分工程度可以用另外一种规模法则来刻画，如果我们把工种的多样性定义为V，这种工种多样性会随着工厂规模扩大而提高，也就是：

一般来说，α小于1。这意味着，随着工厂规模的扩大，生产专业化程度将会进一步提高，会细分为更多的工序和工种。但是，多样性的提高显然不能快于工厂规模的增长，否则这种分工将没有意义，这便体现为α小于1。
3.3 匹配生长模型
究竟是什么因素导致了这种规模法则？又如何将产出和多样性这两个要素联系起来？这时候，张老师创造性地引入了“匹配生长”网络生长模型。该模型中的节点表示构成单元（如大头针工厂中的工人），而连边则表示单元之间的相互作用（如工人之间的配合、协调等）。模型进一步假设大头针工厂的生产总能力就与网络中的连边总量成正比，而节点所覆盖区域的总面积就对应了工种的多样性程度。于是，按照“匹配才能存活”的原则随机生长节点和连边便能复现出产出的超线性规模法则，和多样性的亚线性规模法则，如下图所示。

用计算机模拟得到如下结果：

虽然这是一个典型的随机生长模型，形成的网络在初始阶段会非常不规则，但是t非常大的时候，生长中的随机性会被抹掉，网络会变成一个对称的球体。使得我们利用平均场近似的方法严格地推导出模型中的各类规模法则：

连边数对节点数的超线性规模法则，这里E为总连边数，N为节点数；

区域体积对节点数的亚线性规模法则，这里V为多样性；

系统演化时间对节点数的亚线性规模法则，t为生成N个节点所用的时间。
在初始的时候，只有新节点位于种子r0邻域内才能存活，但是随着网络扩大，存活的节点越来越多，新节点也越来越容易找到和它匹配的节点。这就可以解释为什么越大的城市或者网络社区所蕴含的机会更多，人容易获得认可的可能性也会越大，本质上是连边的超线性增长所导致的。
3.4 模型带来的启示

异质化模型
真实世界的大多复杂网络都是无标度网络，例如万维网，互联网，社交网络，蛋白质相互作用网络，这意味着这些网络的节点连边W数量服从幂律分布，也意味着少数节点会拥有大量链接，大多数节点的链接会很少，即我们常说的“二八定律”。但这也意味着，网络对随机攻击（网络中任意两个节点）的能力更强，对蓄意攻击（专门攻击链接度高的节点）抵御能力更弱。
拥挤与排斥
基础模型存在的不足是，如果其不停地运行下去，空间中的任意一处皆有可能挤下无穷多个点，它们不会相互影响，这和现实世界是不相符的。通常在同一个“生态位”的两个节点或多或少会排斥或者竞争（类似内卷）。所以我们对基础模型进了扩展，引入了一种拥挤和排斥的机制：假设加入新节点在x处存活的概率是ρ(x)-µ，这样x处节点密度过大，新的节点就不容易存活。
多种子生长
新种子的加入，使得我们得到越来越多的团簇。不难想象，越早形成的团簇面积越大，因而会以更大的概率吸引新节点加入；这自然而然地造就了一种“马太效应”，越大的团簇越容易吸引新节点，而越小的团簇越不容易。久而久之，这团簇的大小就形成了异质化分布——也就是幂律分布。这也在一定程度上再现了为什么年轻人就业拼尽全力向大厂或者大型国营单位靠拢的现象（把节点比喻为新入职人员，团簇比喻成团队或组织）。
另外，继续探索基本模型和扩展模型之后，发现他们都有一个有趣的特性：
β+α=2
可以说，分工带来的效率提升可由链接度的超线性规模法则和多样性的亚线性规模法则共同解释的同时，超线性增长与亚线性增长也相互对抗，以及多样性与连边数是此消彼长的，这就体现为二者的幂指数相加等于一个常数2。
连边数E的超线性规模法则、多样性V的亚线性规模法则，以及上面的指数关系公式合在一起还可以得到：
E/N · V/N = C
这里E/N是人均的连接度，V/N是人均的多样性，C是一个与N无关的常数。也就是说，无论城市或社区或组织的规模如何变化，人均链接和人均专业分工多样性始终是一种此消彼长的关系。
这意味着：处理社交关系与专注地完成某种复杂度很高的任务需要完全不同的技能。当我们将注意力放在维护各种社交关系上时，就不得不减少自己在专业技能领域的探索。两者的总和是有上限的。另一个猜想是：链接度与多样性的互补是由人类认知能力的局限性所导致的，所以，当一个人的社会连接度高了，就占据了他过多的认知能力，于是他便不能从事更多样化的专业工作；反过来，一个人过于专注于少数几个专业化技能，则在社交能力上必有所欠缺。假如人能够通过提升自身能力从而提高认知能力上限，那么就可以做到一定程度上的社交与专业性兼顾。当然这些推论都是一种大数据的统计的平均结果，在个体上一定会存在一定的差异性。

4. 城市中的规模法则

4.1 初探城市规模法则
城市创造了超过80%的人类财富和几乎全部的科技创新。但是同时，城市也给人类带来了新的问题与挑战：犯罪、疾病传播、交通拥堵、环境污染……
人类的交互催生了城市，人类因为交流、合作、贸易聚集到了一起。交互创造了社会财富，也带来了新的机会，促进了扩张。为了满足庞大人口的日常生活需要，能量、物质的输运网络必然会形成——电力、自来水、天然气等输送网络，每一个居民区就是网络上的一个节点。在这个网络中的许多基本元素都能看到规模法则的影子。
城市的基本要素
推动城市扩张的力量由集聚经济和自我强化机制产生，例如创新溢出、更大的市场。抑制城市扩张的力量由外部不经济产生，例如交通堵塞、空气污染、维护成本上升等。这些都促使城市向着不同的方向进化。
4.2 贝当古模型与城市匹配生长模型
贝当古提出了一个宏观的城市模型框架，根据产出和成本之间平衡的基本要求就能够进行推导。其整体思路是，城市基础设施的建设都应该以满足人们交互的需求为主要目的。本质是，城市中人们由于社会交互而创造的产出应该与人们花费在交通运输上的成本相平衡。
假设1：人口混合假说，城市中每个人都可以到达城市的任意角落推出第一个规模法则：A∝Nη=N23 (A是城市的面积，总人口为N）
假设2：网络增长假说，城市道路网络应该始终与城市人口相匹配推出第二个规模法则：An∝Nα=N56(cGN/An)
假设3：受限的人类社会能力，每个人在每一次社会交互中贡献的产出不随城市规模扩大而变化推导出第三个规模法则：g.a=G∝N0这里g=Y/N为人均产出，a=An为人均道路面积，两者乘积为常数G。
假设4：城市总产出正比于局部社会交互的加总推导出第四个规模法则：Y=Y0Nβ=Y0N76 (Y为城市总GDP，N为总人口)
接着张江老师在已有的模型中进行进一步改进，利用建模的思路在二维平面运行匹配生长模型，生成一个个节点，建立生长的匹配法则对城市进行生长模拟。这样不仅可以复现所有规模法则，还能给出相应要素的空间分布。
城市匹配生长模型：
假设1：匹配生长，假设新节点落入老节点半径r0范围内时，新节点才能存活
假设2：道路生长，假设道路生长完全取决于活跃人口，围绕人口节点变成维洛诺伊多边形，则道路长度（容量）l与活跃人口ρ满足亚线性规模法则关系l∝ρ1/2
假设3：所有社会交互都发生在道路上，因此局部社会交互密度正比于局部道路密度乘以局部活跃人口密度，假设社会交互量为g，则有以下规律：g∝ρl∝ρ3/2
通过以上假设进行计算机模拟，和实际的情况进行对比，我们得到如下结果：
进一步，该模型还能复现出城市的各类规模法则。上表列出了模型推导出的规模法则幂指数，以及与实际数据的对比。
空间吸引机制
前面的模型仅仅关心一些宏观规模法则，并不能反映各种要素在空间中的分布情况。城市不是均匀的，扁平的，而是包含了一定的内部结构。同一要素在不同城市的分布模式也是不同的，比如北京的道路分布就比伦敦更加扁平化，城郊道路密度的差异要比伦敦小很多。所以，我们需要加入新的规则来反映这种不同。
假设4：新来的人口并不是漫无目的地选择居住地点，而是倾向在人口密度大的区域居住或者工作，因为那里机会更多。
解决方式：加入孤立系数C代表新来者（新加入节点）“离群索居”的倾向。C越大，新来者倾向于远离人群，C越小，人口趋向于扎堆。最后得到以下模拟结果：

可以看出，引入了空间吸引机制的城市匹配生长模型，通过一系列简单的机制和合理的假设，不仅能够模拟城市的各种规模法则，还能够复现出人口分布的情况。

5. 奇点临近

5.1 什么是奇点
奇点是数学上的一个概念，指的是某个函数趋近于无穷大或者没有定义的点。但是20世纪，物理学家们发现，不仅仅是数学上，宇宙中真的存在一种特殊的天体——黑洞，其中也包含着时空奇点。进一步，贝当古、韦斯特等人指出城市不断发展，也会存在奇点。在人工智能领域，随着科技的高速发展，未来也会有一个特殊时间点，也就是“技术奇点”。
奇点到来会发生什么？超指数增长？系统性崩溃？还是重大的革命？或许是交替爆发进行？然而这个过程并不是等时间间隔的，两次重大的科技革命的时间间隔会以幂律的方式不断衰减。每次重大科技革命不仅是人们的生活节奏在加快，而且重大科技革命发生的过程本身也在不断加速。这个过程的终点在哪里？按照韦斯特的观点，奇点来临不可避免。张江进一步指出，这意味着，一方面，超级人工智能将会诞生，另一方面，其为了自身改造升级，不得不消耗越来越多的能量，从而产生越来越多的熵，这些熵最终会毁掉城市——环境破坏，垃圾堆积如山，疾病肆虐……
5.2 加速变迁
电子产品行业有一个著名的定律，叫做摩尔定律。芯片行业中，芯片的晶体管数量，性能等等都会呈现出指数增长的趋势，而成本则呈现指数下降的趋势。如果将这种规律延用到计算机行业，届时人工智能在各种任务上的表现都会超过人类，这便是技术奇点的来临。

不仅仅是电子行业，整个人类的演化，人类社会的进步都具有这样相似的规律。库兹韦尔在《奇点临近》中探讨了历史上重大事件的发生和其时间间隔，然后进行统计发现：无论什么人，无论选择的重大事件差异有多大，这些事件的时间间隔都随着时间的推移以幂律的方式缩短。

5.3 城市生长动力学过程

当我们不对生长的过程进行干预，就会出现两种极端情况：

1. 城市规模超指数增长，达到无法控制的程度

2. 城市直接崩溃，失去原有的形态和功能
显然人类不会任由这种情况发生，就不得不在这个过程中寻求新的变革。在模型中具体体现在对超指数生长动力学过程的重启（为其中的a和b重新赋值），从而导致一条新的生长曲线产生。这条曲线的形态和以前一样，只不过奇点滞后了一点。

具体可以表现为以下幂律关系：

无论从实证数据还是理论推导来看，似乎终极奇点都无法避免。奇点究竟会不会到来？什么时候会到来？到来之后又会发生什么问题？这个问题一直都处于争论当中。我们唯一可以知道的是，历史和科技的车轮不断向前，人类对未来唯一能确定的就是其不确定性……

6. 企业中的规模法则

企业可以用什么样的定律来表示？企业当中的规模法则是什么？其生长的模型又是什么？中国市场和美国市场中的企业有什么特征？在《复杂管理学第四期》的讲座当中，张江老师针对企业中的规模法则进行了深入地探讨。具体内容可以参考这一期的推送《你的公司有没有偏离规模法则？中美对比、企业评估与生长预测》。

7. 阅读后的新体悟

在我们回顾整本书时，有几个关键点值得深入思考。首先，复杂系统普遍存在一种规模法则，这是一项重要的发现。规模法则可以分为两种主要类型：亚线性增长和超线性增长，它们在复杂系统中起着重要作用。此外，在同一个复杂系统中，通常可以将系统内的增长分为亚线性和超线性两部分，它们之间形成了一种奇妙的制衡，最终导致复杂系统存在着各种规模不变的常数。
例如，食物链的长度通常会以亚线性方式增加，这意味着随着生态系统中物种数量的增加，食物链长度的增加速度减小。另一方面，生态系统中的生物多样性与其面积呈超线性关系，这表明大型生态系统通常更稳定，拥有更多的物种。

其次，匹配生长模型（张江模型）的提出以及在经济系统、城市发展和企业成长等多个领域的应用表明，这是一种重要的工具，用于分析和理解复杂系统。这个模型为我们提供了深入探索复杂系统的机会，从而更好地理解其运行原理。
第三点，第11章“迈向复杂物理学”中提出了许多有待研究的问题，吸引了学者们的兴趣。这些问题包括是否可以将规模法则的研究与新制度经济学、空间经济学等理论相结合，以寻求更多维度的解释？除了关注幂函数规律以外，是否也应适度关注logistics函数规律？另外，考虑引入大数据、人工智能等相关技术对经济影响的理论成果，对奇点等问题进行更深入的探讨也是值得考虑的方向。
综合而言，这本书呈现了复杂系统中的规模法则及其重要性，引发了对复杂系统更深层次的思考。同时，匹配生长模型的提出为复杂系统的分析提供了新的工具。最后，第11章中提出的一系列问题为今后的研究提供了有价值的方向。这本书不仅为我们揭示了复杂系统的奥秘，还为未来的研究提供了丰富的素材和思想。

复杂管理学读书会第三季启动

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